Persamaan Matematika Pendukung

Termodinamika Atmosfer: Menyelami Fisika Pada Proses di Atmosfer

Daftar Isi

1. Hukum Tentang Gas

2. Persamaan Hidrostatik

3. Hukum Pertama Termodinamika - Panas dan Kerja Sistem

4. Proses Adiabatik

5. Uap Air dalam Udara

6. Stabilitas Statis

7. Hukum Kedua Termodinamika

Referensi:

Diterjemahkan dan dikembangkan dari: Atmospheric Thermodynamics, Jeremy A. Gibbs, https://gibbs.science/ teaching/efd/handouts /wallace_hobbs_ch3.pdf.

I. Hukum Tentang Gas

1.2 Persamaan Matematika Pendukung

Jika \(z\) adalah suatu fungsi dari variabel \(x\) dan \(y\), maka dapat dituliskan sebagai berikut:

$$dz=\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y}dx+\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}dy\ $$

(1)

di mana \(dz\) adalah diferensial eksak. Sekarang mari kita asumsikan bahwa suatu jumlah \(𝛿z\) dapat diungkapkan sesuai dengan hubungan diferensial berikut:

$$\delta z=M\ dx\ + N\ dy\ \tag 2$$

di mana \(x\) dan \(y\) adalah variabel independen, dan \(M\) serta \(N\) adalah fungsi dari \(x\) dan \(y\). Jika kita mengintegrasikan persamaan (2), kita mendapatkan bahwa:

$$\int \delta z=\int M\ dx\ + \int N\ dy $$

Karena \(M\) serta \(N\) adalah fungsi dari \(x\) dan \(y\), integrasi di atas tidak dapat dilakukan kecuali hubungan fungsional \(f(x, y)\) = 0 antara \(x\) dan \(y\) dipilih.

Hubungan ini menentukan suatu jalur dalam domain \((x, y)\) di sepanjang mana integrasi akan dilakukan. 

Ini disebut integral garis, dan hasilnya sepenuhnya bergantung pada jalur yang ditentukan dalam domain \((x, y)\). Jika kemudian:

\begin{align*} M &= \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y}\ ,\ \\ N &= \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}\ \tag 3 \end{align*}

Maka persamaan (2) akan menjadi:

$$dz=\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y}dx+\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}dy$$

Jika kita sekarang mengintegrasikan 𝛿z dari suatu keadaan awal i ke suatu keadaan akhir f, kita mendapatkan:

\begin{align*} \int_{i}^{f}\delta z &=\int_{i}^{f}dz \\  \int_{i}^{f}dz &= z(x_{f},y{_{f}})-z(x_{i},y{_{i}})\ \end{align*}

(4)

Jelas, jika \(dz\) adalah diferensial eksak, perubahan bersihnya sepanjang suatu jalur i → f hanya bergantung pada titik i dan f, bukan pada lintasan tertentu dari i ke f. Dalam hal ini \(z\) adalah fungsi titik. 

Ketiga variabel keadaan dalam termodinamika adalah diferensial eksak (yaitu 𝛿p = dp, 𝛿T = dT, 𝛿V = dV). Dari sini dapat disimpulkan bahwa semua besaran yang merupakan fungsi dari dua variabel keadaan apapun akan menjadi diferensial eksak.

Jika keadaan akhir dan awal sama (yaitu kita kembali ke keadaan awal melalui suatu proses siklik), maka dari persamaan (4), kita mendapatkan bahwa:

$$\oint \delta z=0\ \tag 5$$

Kondisi alternatif di atas menunjukkan bahwa 𝛿z adalah diferensial tepat jika integralnya sepanjang setiap jalur tertutup adalah nol.

Ketika kita berurusan dengan fungsi matematika murni, kemampuan kita untuk mengevaluasi ∮ 𝛿z tidak tergantung pada arah jalur tertutup.

Namun, ketika kita berurusan dengan sistem alami, kita harus memandang kondisi ∮ 𝛿z = 0 dalam hubungannya dengan proses yang dapat diinverskan dan yang tidak dapat diinverskan. 

Oleh karena itu, untuk sistem fisik, kondisi ∮ 𝛿z=0 ketika 𝛿z adalah diferensial tepat hanya berlaku untuk proses yang dapat diinverskan.

Perhatikan bahwa:

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial_{y}}\frac{\partial z}{\partial_{x}} &= \frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x} \\ &= \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}\\ &= \frac{\partial}{\partial_{x}}\frac{\partial z}{\partial_{y}} \end{align*} 

Berikutnya, syarat  𝛿z untuk menjadi sama dengan diferensial eksak adalah:

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\ \tag 6$$

Persamaan (3)–(6) adalah kondisi-kondisi setara yang mendefinisikan z sebagai fungsi titik dan selanjutnya 𝛿z sebagai diferensial eksak. Jika suatu besaran termodinamika bukan fungsi titik atau diferensial eksak, maka perubahan besaran tersebut sepanjang suatu lintasan akan bergantung pada lintasannya.

Lebih lanjut, perubahan besaran tersebut sepanjang lintasan tertutup tidak nol. Besaran-besaran seperti itu disebut fungsi lintasan. Untuk fungsi lintasan, proses termodinamika harus dijelaskan sepenuhnya untuk mendefinisikan besaran tersebut.

Diferensial eksak akan disimbolkan dengan dz sedangkan diferensial non-eksak akan disimbolkan dengan 𝛿z.

Perlu dicatat bahwa jika 𝛿z bukan diferensial eksak dan hanya melibatkan dua variabel, mungkin ada faktor λ (yang disebut faktor integrasi) sehingga λ𝛿z adalah diferensial eksak.

Dukung Kami

Climate4life.info mendapat sedikit keuntungan dari penayangan iklan yang ada dan digunakan untuk operasional blog ini.
Jika menurut anda artikel pada blog ini bermanfaat, maukah mentraktir kami secangkir kopi melalu "trakteer id"?